소수 계승

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 소수에 대한 정의
- 2.2. 자연수에 대한 정의
3. 성질
4. 소수의 무한성 증명
5. 응용
6. 소수 계승 값
7. 리만 제타 함수와의 관계
참조

1. 개요

소수 계승은 첫 번째 소수부터 n번째 소수까지의 곱으로 정의되거나, 1부터 n까지의 모든 소수를 곱한 값으로 정의된다. 소수 계승은 두 가지 정의를 가지며, n번째 소수에 대한 정의와 자연수 n에 대한 정의가 있다. 소수 계승은 소수의 무한성을 증명하는 데 사용되며, 등차 수열 소수 탐색 및 고도 합성수, 제곱-무료 정수 등 다양한 수학적 개념과 관련이 있다. 또한 리만 제타 함수와도 관계가 있다.

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2. 정의

소수 계승은 크게 두 가지 방식으로 정의된다.

Primorial|소수 계승^영어 ''p_n''#는 ''n''번째 소수의 곱으로 정의된다.
자연수 ''n''에 대한 소수 계승 ''n''#는 ''n''보다 크지 않은 소수들의 곱으로 정의된다.

각 정의에 대한 자세한 내용은 하위 섹션을 참조하라.

소수 계승은 소수의 무한성의 일부 증명에서 사용되며, 다른 소수의 존재를 유도하는 데 활용된다.

2. 1. 소수에 대한 정의

Primorial|소수 계승^영어 n번째 소수 p_n에 대해, 소수 계승 p_n#는 처음 n개의 소수의 곱으로 정의된다:^[1]^[2]

:

p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k

여기서 p_k는 k번째 소수이다.

예를 들어, p₅#는 처음 5개의 소수의 곱을 나타낸다.

:

p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.

처음 다섯 개의 소수 계승 p_n#는 다음과 같다.

:2, 6, 30, 210, 2310

이 수열은 또한 p₀# = 1을 공집합 곱으로 포함한다.

2. 2. 자연수에 대한 정의

일반적으로, 양의 정수 ''n''의 소수 계승 ''n''#는 ''n''보다 크지 않은 소수들의 곱이다.^[1]^[3]

:

n\# = \prod_{p \le n\atop p \text{ prime}} p = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\#

여기서

\pi(n)

는 소수 계량 함수로, ''n'' 이하의 소수의 개수를 나타낸다. 이는 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

n\# =\begin{cases}1 & \text{if }n = 0,\ 1 \\(n-1)\# \times n & \text{if } n \text{ is prime} \\(n-1)\# & \text{if } n \text{ is composite}.\end{cases}

예를 들어, 12#는 12 이하의 소수들의 곱을 나타낸다.

:

12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.

\pi(12) = 5

이므로, 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310.

''n''#의 처음 12개 값은 다음과 같다.

:1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

위의 정의에 따라, 합성수 ''n''에 대해 모든 항 ''n''#는 단순히 이전 항 (''n'' − 1)#을 반복한다. 예를 들어 12는 합성수이므로 12# =

p_5\#

= 11#이다.

소수 계승은 체비쇼프 함수와 관련이 있으며,

\ln (n\#) = \vartheta(n).

로 나타낸다.^[4]

\vartheta(n)

이 큰 값의 ''n''에 대해 점근적으로 ''n''에 접근하므로, 소수 계승은 다음과 같이 증가한다.

:

n\# = e^{(1+o(1))n}.

3. 성질

와 를 인접한 두 소수라고 하자. 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해, $p\leq n 일 때 다음이 성립한다.$

:

n\#=p\#

소수 계승에 대해 다음과 같은 근사식이 알려져 있다.^[5]

:

n\#\leq 4^n

.

::* 수학자 데니스 핸슨(Denis Hanson)은 초등적인 방법을 사용하여

n\#\leq 3^n

임을 보였다.^[6]

::* 더 발전된 방법을 사용하여, 로서(Rosser)와 쇤펠드(Schoenfeld)는

n\#\leq (2.763)^n

임을 보였다.^[7]

::* 로서와 쇤펠드는 정리 4, 공식 3.14에서

n \ge 563

일 때

n\#\geq (2.22)^n

임을 보였다.^[7]

또한 다음이 성립한다.

:

\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\#} = e

:

n<10^{11}

일 때, 값은 보다 작지만,^[8] 더 큰 에 대해서는 함수의 값이 극한 를 초과하고 나중에 주위에서 무한히 진동한다.

$p_k$ 를 번째 소수라고 하면, $p_k\#$ 는 정확히 $2^k$ 개의 약수를 갖는다. 예를 들어, $2\#$ 는 2개의 약수를, $3\#$ 는 4개의 약수를, $5\#$ 는 8개의 약수를 가지며, 97이 25번째 소수이므로, $97\#$ 는 이미 $2^{25}$ 개의 약수를 갖는다.
소수 계승의 역수 값들의 합은 수렴하여 상수로 접근한다.

:

\sum_{p\,\in \,\mathbb{P}}  {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + \ldots = 0{.}7052301717918\ldots

:이 숫자의 엥겔 전개는 소수들의 수열을 생성한다.

유클리드 정리에 따르면, $p\# +1$ 은 소수의 무한성을 증명하는 데 사용된다.
이상의 소수 계승수는 모두 일의 자리가 0이며, 십의 자리는 1, 3, 7, 9 중 하나로 제한된다.
소수가 무수히 많다는 증명에 사용되기도 한다.

: 증명: 최대 소수의 존재를 가정하고, 이를 라 하면, 은 이하의 소수로 나누어 떨어지지 않는다. 가정에 따라 미만의 소수는 이상이 전부이므로 은 1과 자기 자신 이외의 인수를 갖지 않는다고 할 수 있다. 따라서 은 소수여야 하지만, 이는 를 최대 소수로 한 가정에 모순된다. 따라서 최대 소수는 존재하지 않는다. (증명 종료)

: 실제로는 소수 에 대한 은 소수일 수도 있고 합성수일 수도 있다. 소수인 예로는 등이, 합성수인 예로는 등이 있다. 어쨌든 의 소인수는 모두 보다 크다.

모든 고도합성수는 소수 계승수의 거듭제곱수의 곱으로 나타낼 수 있다.

4. 소수의 무한성 증명

소수가 무수히 많다는 증명에 사용되기도 한다.

: 최대 소수의 존재를 가정하고, 이를 p_max라 하면, p_max# + 1은 p_max 이하의 어떤 소수로도 나누어 떨어지지 않는다. 가정에 따라 p_max# + 1 미만의 소수는 p_max 이하의 소수뿐이므로, p_max# + 1은 1과 자기 자신 이외의 인수를 갖지 않는다고 할 수 있다. 따라서 p_max# + 1은 소수여야 하지만, 이는 p_max를 최대 소수로 가정한 것에 모순된다. 따라서 최대 소수는 존재하지 않는다. (증명 종료)

: 실제로는 소수 p에 대한 p# + 1은 소수일 수도 있고 합성수일 수도 있다. 소수인 예로는 11# + 1 = 2311 등이, 합성수인 예로는 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 등이 있다. 어쨌든 p# + 1의 소인수는 모두 p보다 크다.

5. 응용

소수 계승은 덧셈 등차 수열의 소수 탐색에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 2236133941 + 23#는 소수를 생성하며, 23#을 반복적으로 더하면 13개의 소수로 이루어진 등차수열을 얻을 수 있는데, 이 수열은 5136341251에서 끝난다.^[9] 23#은 15개와 16개의 소수로 구성된 등차 수열에서도 공차로 사용된다.

6. 소수 계승 값

다음은 n과 p_n에 대한 소수 계승 값(n#, p_n#)의 일부를 나타낸 표이다.^[13]^[14]

7. 리만 제타 함수와의 관계

리만 제타 함수는 1보다 큰 양의 정수에서 소수 계승 함수와 요르단 토션트 함수 J를 사용하여 표현할 수 있다.^[15]

: $\zeta(k) = \frac{2^k}{2^k - 1} + \sum_{r=2}^\infty \frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)}, \quad k=2,3,\dots$

참조

_[1] Mathworld Primorial
_[2] OEIS
_[3] OEIS
_[4] Mathworld Chebyshev Functions
_[5] 서적 An Introduction to the Theory of Numbers Oxford University Press
_[6] 논문 On the Product of the Primes 1972-03
_[7] 논문 Approximate formulas for some functions of prime numbers 1962-03-01
_[8] 논문 Sharper bounds for the Chebyshev functions $\theta(x)$ and $\psi(x)$
_[9] OEIS
_[10] 논문 On sparsely totient numbers http://projecteuclid[...]
_[11] 서적 Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math https://books.google[...] John Wiley & Sons 2016-03-16
_[12] OEIS
_[13] OEIS
_[14] OEIS
_[15] 논문 The Primorial and the Riemann zeta function
_[16] OEIS
_[17] 서적 소수, 수학 최대의 미스터리 도서출판 한승

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소수 계승
정의
정의	소수의 계승
설명	처음 n개의 소수의 곱
표기법
표기	p_n#
예시
2번째 소수 계승	2# 2
3번째 소수 계승	3# 3 × 2 6
4번째 소수 계승	4# 3# 6
5번째 소수 계승	5# 5 × 3# 30
6번째 소수 계승	6# 5# 30
수열
소수 계승 수열	2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, …

n	n#	p_n	p_n#	프리모리얼 소수?
n	n#	p_n	p_n#	p_n# + 1	p_n# − 1
0	1		1	예	아니요
1	1	2	2	예	아니요
2	2	3	6	예	예
3	6	5	30	예	예
4	6	7	210	예	아니요
5	30	11	2,310	예	예
6	30	13	30,030	아니요	예
7	210	17	510,510	아니요	아니요
8	210	19	9,699,690	아니요	아니요
9	210	23	223,092,870	아니요	아니요
10	210	29	6,469,693,230	아니요	아니요
11	2,310	31	200,560,490,130	예	아니요
12	2,310	37	7,420,738,134,810	아니요	아니요
13	30,030	41	304,250,263,527,210	아니요	예
14	30,030	43	13,082,761,331,670,030	아니요	아니요
15	30,030	47	614,889,782,588,491,410	아니요	아니요
16	30,030	53	32,589,158,477,190,044,730	아니요	아니요
17	510,510	59	1,922,760,350,154,212,639,070	아니요	아니요
18	510,510	61	117,288,381,359,406,970,983,270	아니요	아니요
19	9,699,690	67	7,858,321,551,080,267,055,879,090	아니요	아니요
20	9,699,690	71	557,940,830,126,698,960,967,415,390	아니요	아니요
21	9,699,690	73	407,296,805,992,490,241,506,213,234,700	아니요	아니요
22	9,699,690	79	32,176,447,673,406,729,078,990,845,541,300	아니요	아니요
23	223,092,870	83	2,670,645,156,892,758,513,556,240,179,927,900	아니요	아니요
24	223,092,870	89	237,687,418,963,455,507,706,505,376,013,583,100	아니요	예
25	223,092,870	97	23,055,679,639,455,184,247,531,021,473,317,560,700	아니요	아니요
26	223,092,870	101	23,286,236,435,849,736,090,006,331,688,050,736,307,000	아니요	아니요
27	223,092,870	103	23,984,823,528,925,228,172,706,521,638,692,258,396,210	아니요	아니요
28	223,092,870	107	25,663,761,175,949,994,144,795,978,153,400,716,483,944,700	아니요	아니요
29	6,469,693,230	109	2,797,349,968,178,549,361,782,761,687,206,780,967,499,723,000	아니요	아니요
30	6,469,693,230	113	316,100,546,404,176,077,881,452,062,915,436,624,932,746,869,900	아니요	아니요
31	200,560,490,130	127	40,144,769,393,330,361,890,944,411,990,260,451,366,458,852,477,300	아니요	아니요
32	200,560,490,130	131	5,258,964,790,526,277,407,713,717,970,724,119,129,006,109,674,526,300	아니요	아니요
33	200,560,490,130	137	720,478,176,302,100,004,856,779,361,989,204,320,673,837,025,410,310	아니요	아니요
34	200,560,490,130	139	100,146,466,505,991,900,675,092,331,316,499,400,573,663,346,532,090	아니요	아니요
35	200,560,490,130	149	14,921,823,509,392,793,200,588,757,366,158,410,685,475,838,633,268,410	아니요	아니요
36	200,560,490,130	151	2,253,195,349,918,311,773,288,902,362,289,920,013,506,851,633,268,419,100	아니요	아니요
37	7,420,738,134,810	157	353,751,669,937,174,948,406,357,670,879,517,442,120,575,706,422,429,870	아니요	아니요
38	7,420,738,134,810	163	57,661,522,199,759,516,590,236,300,353,361,343,065,653,840,156,068,810	아니요	아니요
39	7,420,738,134,810	167	9,629,474,207,359,839,270,569,462,159,011,344,291,964,191,307,541,596,349,127,000	아니요	아니요
40	7,420,738,134,810	173	1,665,899,037,873,252,193,808,516,953,508,962,562,509,805,948,746,961,683,989,710	아니요	아니요